Прежде всего, ЧТО должно получиться в результате умножения трёх матриц ? Кошка не родит мышку. Если матричное умножение осуществимо, то в итоге тоже получится матрица. М-да, хорошо мой преподаватель по алгебре не видит, как я объясняю замкнутость алгебраической структуры относительно её элементов =)
Произведение трёх матриц можно вычислить двумя способами:
1) найти , а затем домножить на матрицу «цэ»: ;
2) либо сначала найти , потом выполнить умножение .
Результаты обязательно совпадут, и в теории данное свойство называют ассоциативностью матричного умножения
:
Пример 6
Перемножить матрицы двумя способами
Алгоритм решения двухшаговый: находим произведение двух матриц, затем снова находим произведение двух матриц.
1) Используем формулу
Действие первое:
Действие второе:
2) Используем формулу
Действие первое:
Действие второе:
Ответ :
Более привычен и стандартен, конечно же, первый способ решения, там «как бы всё по порядку». Кстати, по поводу порядка. В рассматриваемом задании часто возникает иллюзия, что речь идёт о каких-то перестановках матриц. Их здесь нет. Снова напоминаю, что в общем случае ПЕРЕСТАВЛЯТЬ МАТРИЦЫ НЕЛЬЗЯ . Так, во втором пункте на втором шаге выполняем умножение , но ни в коем случае не . С обычными числами такой бы номер прошёл, а с матрицами – нет.
Свойство ассоциативности умножения справедливо не только для квадратных, но и для произвольных матриц – лишь бы они умножались:
Пример 7
Найти произведение трёх матриц
Это пример для самостоятельного решения. В образце решения вычисления проведены двумя способами, проанализируйте, какой путь выгоднее и короче.
Свойство ассоциативности матричного умножения имеет место быть и для бОльшего количества множителей.
Теперь самое время вернуться к степеням матриц. Квадрат матрицы рассмотрен в самом начале и на повестке дня вопрос.
Это одна из самых распространенных операций с матрицами. Матрица, которая получается после умножения, называется произведением матриц.
Произведением матрицы A m × n на матрицу B n × k будет матрица C m × k такая, что элемент матрицы C , находящийся в i -ой строке и j -ом столбце, то есть элемент c ij равен сумме произведений элементов i -ой строки матрицы A на соответствующие элементы j -ого столбца матрицы B .
Процесс умножения матриц возможен только в случае, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы.
Пример:
Можно ли умножить матрицу на матрицу ?
m = n , значит, умножать данные матрицы можно.
Если же матрицы поменять местами, то, при таких матрицах, умножение уже не будет возможно.
m ≠ n , таким образом, выполнять умножение нельзя:
Довольно часто можно встретить задания с подвохом, когда ученику предлагается умножить матрицы , умножение которых заведомо невозможно.
Обратите внимание, что иногда можно умножать матрицы и так, и так. К примеру, для матриц, и возможно как умножение MN , так и умножение NM.
Это не очень сложное действие. Умножение матриц лучше понимать на конкретных примерах, т.к. только определение может сильно запутать.
Начнем с самого простого примера:
Необходимо умножить на . Первым делом приведем формулу для данного случая:
- здесь хорошо прослеживается закономерность.
Умножить на .
Формула для этого случая: .
Умножение матриц и результат:
В результате получена т.н. нулевая матрица.
Очень важно помнить, что здесь не работает «правило перестановки мест слагаемых» так как почти всегда MN ≠ NM . Поэтому, производя операцию умножения матриц их ни в коем случае нельзя менять местами.
Теперь рассмотрим примеры умножения матриц третьего порядка:
Умножить на .
Формула очень похожа на прошлые:
Решение матрицы: .
Это тоже самое умножение матриц, только вместо второй матрицы берется простое число. Как можно догадаться, такое умножение выполнять гораздо проще.
Пример умножения матрицы на число:
Тут все понятно - для того, чтобы умножить матрицу на число , необходимо каждый элемент матрицы последовательно умножить на указанное число. В данном случае - на 3.
Еще один полезный пример:
- умножение матрицы на дробное число.
Первым делом покажем то, чего делать не надо:
При умножении матрицы на дробное число не нужно вносить дробь в матрицу, так как это в первую очередь только затрудняет дальнейшие действия с матрицей, во-вторых, затрудняет проверку решения преподавателем.
И, тем более, не нужно делить каждый элемент матрицы на -7:
.
Что стоит сделать в данном случае - это внести минус в матрицу:
.
Если бы у вас был пример, когда все элементы матрицы делились бы на 7 без остатка, то тогда можно (и нужно!) было бы поделить.
В данном примере можно и нужно умножить все элементы матрицы на ½, т.к. каждый элемент матрицы делится на 2 без остатка.
Примечание: в теории высшей математики школьного понятия «деление» нет. Вместо фразы «это поделить на это» всегда можно сказать «это умножить на дробь». То есть, деление - это частный случай умножения.
состоящая из т строк и п столбцов, называется матрицей размера n × m . Числа а 11 , а 12 , ..., а mn называются ее элементами. Таблицу, обозначающую матрицу, записывают в круглых скобках и обозначают А = (а ij ).
Если число строк матрицы равно числу ее столбцов, то матрица называется квадратной, а число ее строк, равное числу столбцов, - порядком квадратной матрицы.
Множество всех элементов квадратной матрицы, которые лежат на отрезке, соединяющем левый верхний угол с правым нижним, называется главной диагональю, а на отрезке, соединяющем правый верхний угол с левым нижним -побочной диагональю.
Квадратная матрица называется диагональной, если все ее элементы, не лежащие на главной диагонали, равны нулю. Квадратная матрица, у которой элементы, стоящие по главной диагонали равны единице, а остальные – нули, называется единичной и обозначается Е.
Две матрицы и называются равными, если число их строк и столбцов равны и если равны элементы, стоящие на соответственных местах этих матриц.
Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой и обозначается через Н .
По определению, чтобы умножить матрицу А на число r, нужно каждый элемент матрицы А умножить на r.
Пример.
Дана матрица А
=
, найти
матрицу 3А
.
3
А =
3
=
Суммой матриц А и В называется матрица С, элементы которой равны суммам соответственных элементов матриц А и В . Складывать можно только матрицы с одинаковым числом строк и столбцов.
Пример.
Даны матрицы А
=
иВ
=
.
Найти матрицуС
= А + В.
С
=
Свойства сложения матриц:
А+В=В+А
(А+ В ) + С = А+ (В + С)
А + Н = А
Произведение матрицы А на матрицу В определено только в том случае, когда число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В. В результате умножения получится матрица АВ, у которой столько же строк, сколько их в матрице А , и столько же столбцов, сколько их в матрице В.
Произведением двух матриц А (m × p ) и В (p × n ) называется матрица С (m × n ), элементы которой определены по правилу
С
ij
=
Замечание . Для того, чтобы перемножить две матрицы нужно элементы i -ой строки первой матрицы умножить на элементы j -ого столбца второй матрицы и сложить полученные произведения. Получим элемент новой матрицы с индексом ij .
Пример. Даны матрицы а и в. ;. Найти произведение матриц ав.
АВ=
=
=
Пример. Даны матрицы А
и В
.
А
=
иВ =
.
Решение: А = (2X3), В = (3X2) => АВ = (2X2)
АВ=
=
=
Свойства умножения матриц:
АВ ВА;
(АВ)С=А(ВС);
АЕ = ЕА = А
(АВ )k = (AB)k= A(Bk)
(A+B)C = AB +BC
A(B+C) = AB + AC/
Транспонированной матрицей А T называется матрица, у которой строки записаны вместо столбцов, а столбцы – вместо строк.
Пример.
Пусть дана матрица А=
,
тогда
А
T
=
Определители.
Определителем
второго порядка,
соответствующий матрице А
=
,
называется число
=а
11 а
22
- а
12 а
21 .
Пример. Вычислить определителем второго порядка.
= 1 · (-3) – 2 · 4 = -11.
Определителем третьего порядка, соответствующий матрице
А
=
,
называется число
=а
11
а
22
а
33
+а
12
а
23
а
31
+
а
13
а
21
а
32
-
а
13
а
22
а
31
-
а
12
а
21
а
33
–а
11
а
23
а
32.
Чтобы запомнить какие произведения в правой части равенства следует брать со знаком «+», а какие со знаком «-», полезно правило названное правилом треугольника, изображенное на рис. 1.
« + » « - »
Рисунок 1.
Пример. Вычислить определитель
Второй способ вычисления определителей третьего порядка – это способ вычисления определителей третьего порядка, заключается в дописывании первых двух столбцов, в нахождении произведений по главной диагонали и параллелях к ней и по побочной диагонали и параллелях к ней.
= а 11 а 22 а 33 +а 12 а 23 а 31 + а 13 а 21 а 32 - а 13 а 22 а 31 - а 12 а 21 а 33 –а 11 а 23 а 32.
Свойства определителей :
Если в определителе поменять местами две строки (столбца), то его знак изменится на противоположный.
Если в определителе поменять местами строки и столбцы, то его знак и величина не изменится.
Если в определителе две строки пропорциональны (равны), то он равен нулю.
Если в определителе какую либо строку (столбец) умножить на некоторое число и сложить с другой строкой (столбцом), то его значение не изменится.
Если в определителе элементы какой либо строки (столбца) имеют общий множитель, то его можно вынести за знак определителя.
Если определитель содержит нулевую строку или столбец, то он равен нулю.
Минором М ij элемента определителя а ij называется определитель, получаемый из исходного путем вычеркивания i - ой строки и j -ого столбца на которых расположен этот элемент.
Алгебраическим дополнением А ij элемента определителя а ij называется минор умноженный на (-1) i + j .
Третий способ вычисления определителей – с помощью теоремы разложения.
Теорема разложения: Определитель равен сумме произведений элементов какой-либо строки (столбца) на их алгебраические дополнения.
Пример. Вычислить определитель третьего порядка, разложив определитель по элементам первой строки.
=
5· (-1) 1+1 ·
+ 3 · (-1) 1+2 ·
+ 2·(-1) 1+3 ·
= 68.
Этот же определитель можно вычислить с помощью свойства 4), а затем применить теорему разложения. В нашем примере образуем нули в первом столбце. Для этого к элементам первой строки прибавим элементы второй строки, умноженной на 5, а к элементам третьей строки прибавим элементы второй строки, умноженной на 7. И полученную матрицу разложим по элементам первого столбца.
=
=
0
- (-1)
+0
=
=13 · 34 – 17 · 22 = 68.
Умножать две матрицы можно только при условии, что в первой из них ровно такое же количество столбцов, сколько строк во второй. Сами же значения при этом могут быть не только целыми, но и дробными. Получив расшифровку вычисления этой задачи, вы сможете понять, как происходит перемножение. Это сэкономит ваше время и поможет лучше разобраться в вычислительных тонкостях.
Допустим, у вас имеется две матрицы, и вам предстоит найти их произведение. Сделать это оперативно и с наивысшей точностью вам поможет данный онлайн-калькулятор. Он не просто умножит две матрицы без затруднений за пару минут, но и позволит вам детальнее разобраться в самом алгоритме этих расчётов. Таким образом, применение онлайн-калькулятора способствует закреплению пройденного в теории материала. Можно также сначала производить вычисления вручную, а затем проверять их здесь, это превосходная тренировка для мозга.
Инструкция пользования данным онлайн-калькулятором не представляет сложности. Чтобы умножить матрицы онлайн для начала укажите количество имеющихся столбцов и строк в первой матрице посредством нажатия на иконки «+» или «-» слева от матрицы и под ней. Затем введите числа. Повторите те же операции для второй матрицы. Далее остаётся лишь кликнуть кнопку «Вычислить» - и перед вами откроется искомое значение вместе с детальным алгоритмом вычислений.
Определение. Произведением двух матриц А и В называется матрица С , элемент которой, находящийся на пересечении i -й строки и j -го столбца, равен сумме произведений элементов i -й строки матрицы А на соответствующие (по порядку) элементы j -го столбца матрицы В .
Из этого определения следует формула элемента матрицы C :
Произведение матрицы А на матрицу В обозначается АВ .
Пример 1. Найти произведение двух матриц А и B , если
,
.
Решение. Удобно нахождение произведения двух матриц А и В записывать так, как на рис.2:
На схеме серые стрелки показывают, элементы какой строки матрицы А на элементы какого столбца матрицы В нужно перемножить для получения элементов матрицы С , а линиями цвета элемента матрицы C соединены соответствующие элементы матриц A и B , произведения которых складываются для получения элемента матрицы C .
В результате получаем элементы произведения матриц:
Теперь у нас есть всё, чтобы записать произведение двух матриц:
.
Произведение двух матриц АВ имеет смысл только в том случае, когда число столбцов матрицы А совпадает с числом строк матрицы В .
Эту важную особенность будет легче запомнить, если почаще пользоваться следующими памятками:
Имеет место ещё одна важная особенность произведения матриц относительно числа строк и столбцов:
В произведении матриц АВ число строк равно числу строк матрицы А , а число столбцов равно числу столбцов матрицы В .
Пример 2. Найти число строк и столбцов матрицы C , которая является произведением двух матриц A и B следующих размерностей:
а) 2 Х 10 и 10 Х 5;
б) 10 Х 2 и 2 Х 5;
Пример 3. Найти произведение матриц A и B , если:
.
A B - 2. Следовательно, размерность матрицы C = AB - 2 X 2.
Вычисляем элементы матрицы C = AB .
Найденное произведение матриц: .
Проверить решение этой и других подобных задач можно на калькуляторе произведения матриц онлайн .
Пример 5. Найти произведение матриц A и B , если:
.
Решение. Число строк в матрице A - 2, число столбцов в матрице B C = AB - 2 X 1.
Вычисляем элементы матрицы C = AB .
Произведение матриц запишется в виде матрицы-столбца: .
Проверить решение этой и других подобных задач можно на калькуляторе произведения матриц онлайн .
Пример 6. Найти произведение матриц A и B , если:
.
Решение. Число строк в матрице A - 3, число столбцов в матрице B - 3. Следовательно, размерность матрицы C = AB - 3 X 3.
Вычисляем элементы матрицы C = AB .
Найденное произведение матриц: .
Проверить решение этой и других подобных задач можно на калькуляторе произведения матриц онлайн .
Пример 7. Найти произведение матриц A и B , если:
.
Решение. Число строк в матрице A - 1, число столбцов в матрице B - 1. Следовательно, размерность матрицы C = AB - 1 X 1.
Вычисляем элемент матрицы C = AB .
Произведение матриц является матрицей из одного элемента: .
Проверить решение этой и других подобных задач можно на калькуляторе произведения матриц онлайн .
Программная реализация произведения двух матриц на С++ разобрана в соответствующей статье в блоке "Компьютеры и программирование".
Возведение матрицы в степеньВозведение матрицы в степень определяется как умножение матрицы на ту же самую матрицу. Так как произведение матриц существует только тогда, когда число столбцов первой матрицы совпадает с числом строк второй матрицы, то возводить в степень можно только квадратные матрицы. n -ая степень матрицы путём умножения матрицы на саму себя n раз:
Пример 8. Дана матрица . Найти A ² и A ³ .
Найти произведение матриц самостоятельно, а затем посмотреть решение
Пример 9. Дана матрица
Найти произведение данной матрицы и транспонированной матрицы , произведение транспонированной матрицы и данной матрицы.
Свойства произведения двух матрицСвойство 1. Произведение любой матрицы А на единичную матрицу Е соответствующего порядка как справа, так и слева, совпадает с матрицей А, т.е. АЕ = ЕА = А.
Иными словами, роль единичной матрицы при умножении матриц такая же, как и единицы при умножении чисел.
Пример 10. Убедиться в справедливости свойства 1, найдя произведения матрицы
на единичную матрицу справа и слева.
Решение. Так как матрица А содержит три столбца, то требуется найти произведение АЕ , где
-
единичная матрица третьего порядка. Найдём элементы произведения С
= АЕ
:
Получается, что АЕ = А .
Теперь найдём произведение ЕА , где Е – единичная матрица второго порядка, так как матрица А содержит две строки. Найдём элементы произведения С = ЕА :